Solución de una Ecuación Diferencial de orden Superior por sus diferentes métodos

•mayo 6, 2010 • 2 comentarios

Método por Coeficientes Constantes

Método por Coeficientes Indeterminados (Primera parte)

Método por Coeficientes Indeterminados (Segunda parte)

Leyes de Newton

•marzo 16, 2010 • Dejar un comentario

Leyes de Newton

Introducción a la Dinámica

•marzo 15, 2010 • Dejar un comentario

Introduccion a la Dinámica

Cuadro sinóptico

 Es un esquema donde el autor recopila, enunciados breves y la mayor cantidad de información. En este tipo de síntesis se utilizan llaves y corchetes para organizar los datos y presentar los conocimientos en sus distintos niveles.

 El cuadro sinóptico estructura de forma esquemática los elementos que se consideran importantes, de manera que sea fácil recordarlos.

 Esta clase de textos involucra una interpretación personal de los datos obtenidos, de manera que el lector reflexiona sobre lo que le parece más relevante del tema que está estudiando y expresa, en sus propias palabras, las ideas centrales. Todos estos tipos de redacciones están destinados a recopilar la información más importante y presentarla de la manera más clara posible.

 

 Mapa conceptual

 Los mapas conceptuales o mapas de conceptos son un medio para visualizar ideas o conceptos y las relaciones jerárquicas entre los mismos. Es un medio didáctico para organizar información, sintetizarla y presentarla gráficamente.

 Útil puesto que nos permite apreciar el conjunto de la información  que contiene un texto y las relaciones entre sus componentes, lo que facilita su comprensión, que es el camino más satisfactorio y efectivo para el aprendizaRed semántica

Red semántica o esquema de replantación de red  es una forma de representación de conocimiento lingüístico en la que los conceptos y sus interrelaciones se representan mediante un grafo.

Un grafo o red semántica los elementos semánticos se representan por nodos.

Existe diversos tipos de relaciones semánticas como la hiponimia , hiperonimia, la meronimia, etc. Dado un conjunto de conceptos, elementos semánticos o términos relacionados semánticamente mediante alguna relación semántica, una red semántica representa estas relaciones en forma de grafo.

Movimientos Cinemáticos

•marzo 2, 2010 • 2 comentarios

Cinemática

La cinemática estudia la geometría del movimiento y se utiliza para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo, sin tomar en cuenta el movimiento que lo produce.

En cinemática del movimiento  por describir y especificar  la posición, la velocidad y la aceleración del cuerpo u objeto (partícula).  

  • Posición.-Es el lugar que ocupa un objeto ó cuerpo en el espacio (vector posición).

  • Desplazamiento.- Es el cambio de posición de un cuerpo  u objeto a través del espacio.

 

  • Velocidad.-Es el cambio de posición de un cuerpo  respecto al tiempo.

  • Velocidad instantánea.- Cambio del desplazamiento de un cuerpo respecto al tiempo , es decir es considerado como:

 

  • Aceleración.- Cambio de velocidad con respecto al tiempo.

 

 

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

Un movimiento rectilíneo uniforme sucede cuando un móvil sigue una trayectoria recta en la cual realiza desplazamientos iguales en tiempos iguales.

 

El movimiento rectilíneo uniforme es un tipo de movimiento en línea recta que se encuentra con frecuencia en  las aplicaciones prácticas. Tomando en cuenta que en este movimiento, la aceleración ( a ) de la partícula es cero en relación al valor del tiempo    ( t ). Como consecuencia, la velocidad ( v ) es constante, y la ecuación se transforma:

 

Obtendremos  la coordenada de posición ( x ) al integrar esta ecuación. Al integrar definiremos a la integral  mediante ( x0 ) el valor inicial de ( x ) , de la siguiente manera:

                                                    

 

Esta ecuación se utilizara sólo si sabe que la velocidad de la partícula u objeto es constante.

Ejemplo No.1:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresión de

La velocidad

La aceleración del móvil en función del tiempo.

 

Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento

Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes ( t0 )y ( t ), mediante la integral definida.

El producto (v) dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes ( t )  y  ( t + d ) , o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes ( t0 )y ( t ). 

En la figura, se muestra una grafica de la velocidad en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes ( t0 )y ( t ),el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta     

Hallamos La posición ( x ) del móvil en el instante ( t ), sumando la posición inicial       ( x0 ) al desplazamiento, calculando mediante la medida del área bajo curva ( v – t )  o mediante el calculo de la integral de definida en la formula anterior.

Video

Movimiento rectilíneo uniforme

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)

  Héctor Pérez Montiel (2002) (Tomo esta definición por que es una forma describir e Imaginar el MRUA).                                                                                                             

“Se tiene un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado cuando la velocidad experimenta cambios iguales en cada unidad de tiempo”.

 Se puede considerar un movimiento uniformemente acelerado cuando la  aceleración es constante. En este, la aceleración ( a ) de un objeto es constante, y la ecuación se convierte en:

 

La velocidad ( v ) de la partícula se obtiene al integrar esta ecuación

 

donde v0 es la velocidad inicial. Al sustituir por v en  (1), se escribe

Al denotar mediante ( x0 ) el valor inicial de ( x ) e integrarse se tiene

Esta ecuación es útil entre la coordenada de posición, la velocidad y el tiempo en el caso del movimiento uniformemente acelerado, al sustituir los valores de ( a ),( v0 ) , y ( x).

 Ejemplo No.1:

Un corredor que parte del reposo acelera en línea recta a una aceleración de 5.5 durante 6s. ¿Cuál es la velocidad del corredor al final de este tiempo? Si un paracaídas se abre en este momento hace que el corredor desacelere uniformemente con una aceleración de 2.4 m/s2 ¿Cuánto tardará en detenerse?, ¿Qué tanto avanzó?, Si una pared se encuentra a 220m de distancia se estrello o no?

 

V= ?                     Vf = V0 + a.t         Vf = 0+5.5 ( 6s )    Vf = 33m/s

 

V0 = 0                                           

 

a=5.5m/s 2                             

 

t = Vf   – V0/a             t = 0m/s-33m/s/-2.4=13.75s                 t =13.75s

 

d = V0 t +1/2at     d = 0+1/2(-2.4m/s)(13.75)(13.75)  d = 226.875m                    

La respuesta a esto es que  desafortunadamente  si se estrello.

Video

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Movimiento Parabólico

Sucede cuando un objeto es lanzado con cierta inclinación respecto a la horizontal y bajo la acción de la fuerza de gravitacional, y la trayectoria se mantiene en el plano vertical y es parabólico.

El tiro parabólico es un ejemplo del movimiento realizado por un cuerpo en dos dimensiones o sobre un plano.

Además el tiro parabólico es la resultante de la suma vectorial de un movimiento horizontal uniforme y de un movimiento vertical rectilíneo uniformemente acelerado:

El tiro parabólico es de dos tipos:

  • Tiro parabólico de horizontal:

 

 

 

Se caracteriza por la trayectoria o camino curvo que sigue un cuerpo al ser lanzado horizontalmente al vacio.

Aquí el resultado que obtendremos de los dos movimientos serán independientes: un movimiento horizontal con velocidad constante y otro vertical, iniciando con una velocidad cero he ira aumentado en la misma proporción de otro cuerpo que se dejara caer del mismo punto en el mismo instante.

  • Tiro parabólico oblicuo

 

Se caracteriza por la trayectoria que sigue un cuerpo cuando es lanzado con una velocidad inicial que forma un ángulo con el eje horizontal.

El tiro parabólico se puede estudiar como la composición de dos movimientos:

  • Un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en la dirección de ( x ).
  • Un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) en dirección de

   ( y ).

 

Las ecuaciones del tiro parabólico son las siguientes:

Aceleración  

    

Velocidad

Espacio recorrido

Para estudiar el movimiento parabólico se tienen que tener en cuenta los siguientes datos:

      La trayectoria que sigue el cuerpo

      Alcance máximo

      Altura máxima

      Para un tiempo determinado,  los valores de posición y velocidad.

Ejemplo No.1:

 

Desde un campanario de 15m de altura, lanzamos hacia arriba un petardo en la noche de San Juan con una velocidad inicial de 30m/s y con un ángulo con la horizontal de 60º. Calcularemos 1) el alcance, 2) la velocidad a la que cae el petardo y 3) la altura máxima a la que llega al suelo.

Para separar el problema en los dos ejes, se descompone la velocidad inicial:

 

 

Según el eje y: el movimiento es  MRUA:

El signo de la gravedad, es negativo porque siempre hay que considerar la dirección del movimiento positiva, entonces inicialmente el movimiento del petardo es para arriba, por lo tanto se asocia el signo positivo a todo movimiento que sea para arriba, como consecuencia se asigna hacia abajo el signo negativo, como el caso de la gravedad.

La ecuación de movimiento que le corresponde:

         

 

Eje x:

  por lo tanto la ecuación del movimiento será :                                                                                                                           

1) Para calcular el alcance la condición a imponer es  = 0.  Sustituyendo en la ecuación correspondiente:

 

 

Si se tiene el tiempo en que el petardo llega al suelo, se encuentra el alcance sustituyendo este tiempo en la otra ecuación:

 

 

2) Para encontrar la velocidad a la que llega el petardo en el suelo se sabe que la componente x no ha variado, por lo tanto solo hay que calcular la componente :

 

 

Donde el signo negativo indica que la velocidad es hacia abajo, como era de esperar.

Entonces,  la velocidad que lleva el petardo es:

 pero esto no es suficiente, se debe indicar el módulo y la dirección así que:

 

 

 3) Para hallar la altura máxima, la condición a imponer será: vy = 0,  si se sustituye este valor en la ecuación correspondiente se podrá hallar el tiempo: 

Entonces para conocer la altura máxima, solo se deberá sustituir este tiempo en la ecuación de movimiento:

Videos

Movimiento Parabólico 

Tiro Parabólico

 Movimiento Circular

  Héctor Pérez Montiel (2002) (Tomo esta otra definición por que es una forma descriptiva de lo que el Movimiento Circular)  

 “Un cuerpo describe un movimiento circular cuando gira alrededor de un punto fijo llamado eje de rotación”.

Ejemplos claros son: las ruedas de un auto, los engranes de un reloj, poleas que nos permite levantar algún objeto pesado por medio de cuerdas, discos compactos (cd/rom, DVD), y  también las hélices de un helicóptero.

El movimiento circular se efectúa en un mismo plano y es el movimiento más simple en dos dimensiones.

En el movimiento circular el origen del sistema de referencia se encuentra en el centro de la trayectoria circular. Aquí los factores  intervienen son: el desplazamiento, el  tiempo, la velocidad y la aceleración. Aclarando que las trayectorias de éstas son  circunferencias concéntricas de longitud de diferente y de radio igual a la distancia entre el objeto o la partícula considerado(a) y el eje de rotación.

Debido a esto introduciré los conceptos de ángulo y radián: 

   Ángulo.- Es la abertura comprendida entre dos radios, que limitan un arco de circunferencia.

  Radián.- Es el ángulo central al que corresponde un arco de longitud igual al radio.

 

 

 

 

 Ejemplo:

Si observamos el movimiento de un objeto que es colocado encima de un disco y lo hacemos girar, al momento de que este girando podemos ser precisos con la posición, si tomamos el sistema de referencia al centro de la trayectoria circular. De esta manera el vector nos indicará su posición para cada intervalo de tiempo encontrándose determinado por el radio de la circunferencia, mismo que permanece constante. Por lo tanto, el vector de posición tendrá una magnitud constante y su dirección será la  misma que tenga el radio de la circunferencia. Al momento de que se desplace el objeto colocado sobre el disco, su cambio de posición se podrá conocer mediante desplazamientos del vector posición, dando como resultado a los desplazamientos angulares.   

 

 

Donde:

 r = vector de posición

 = desplazamiento angular

 = posición inicial del objeto

 = posición final del objeto, después de un intervalo de tiempo

 Periodo.- Es el tiempo que tarda un cuerpo en dar una vuelta completa o en completar un ciclo.

  

 

 Frecuencia.- Es el número de vueltas, revoluciones o ciclos que efectúa un móvil en un ciclo.

 

  Formación de una onda sinusoidal (senoidal)

 

Ejemplo No.1:

El péndulo cónico

Un pequeño cuerpo de masa m esta suspendido de una cuerda de longitud L, el cuerpo gira en un círculo horizontal de radio r con rapidez constante v, como se muestra en la figura (puesto que la cuerda barre la superficie de un cono, el sistema  se conoce como un péndulo cónico).

Encuentre la velocidad del cuerpo y el periodo de revolucion, TP definido como el tiempo necesario para completar una revolución.

 

Solución:

En la figura se muestra el digrama de un cuerpo libre para la masa m, donde la fuerza ejercida por la cuerda, T se ha descompuesto en una componente vertical, T cos (u) y una componente T sen (u) que actúa hacia el centro de rotación. Puesto que el cuerpo no acelera en la direccion vertical, la componente vertical de T debe equilibrar el peso.

Por lo tanto:

Tx = T sen u

Ty = T cos u

 

Ty- mg = 0

Ty = mg

T cos u = mg                                            

 

Ecuación 1

Puesto que, en este ejemplo, la fuerza central es proporcionado por la componente

T sen u de la segunda ley de Newton obtenemos:

 

 

 Ecuación 2

Al dividir la ecuación 2 con la ecuación 1, se elimina T y la masa m.

  

 

 

    pero   r = L sen u

 

En vista de que la bola recorre una distancia de 2 π r, (la circunferencia de la trayectoria circular) en un tiempo igual al periodo de revolución TP (que no debe ser confundida con la fuerza T), encontramos:

 

 

 Si tomamos L = 1 metro u = 200

 

 

Tp  =  1.945 segundos

Videos

Movimiento circular

Movimiento Circular uniforme

 

GLOSARIO

Vector posición.- Es el vector OP que une al  origen de coordenadas 0 inicia con el punto P.    

Concéntricas.- objeto o figura que tiene el mismo centro que otro objeto o figura.

 REFERENCIAS 

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm

http://www.vitutor.com/geo/vec/a_3.html

http://rsta.pucmm.edu.do/tutoriales/fisica/Leccion6/6.1.htm

http://images.google.com.mx/imgres?imgurl=http://platea.pntic.mec.es/curso20//77_newton/html7/index_archivos/tiro.JPG&imgrefurl=http://platea.pntic.mec.es/curso20//77_newton/html7/tiro_parabolico.htm&usg=__K8xon_4jDzYwefzyt1_dieBC99g=&h=390&w=714&sz=20&hl=es&start=16&itbs=1&tbnid=zwCgmu3EvS0-cM:&tbnh=76&tbnw=140&prev=/images%3Fq%3Dmovimiento%2Bparabolico%26hl%3Des%26gbv%3D2%26tbs%3Disch:1

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/circular/circular.htm

 

 

 BIBLOGRAFIAS

Física General, Héctor Pérez Montiel, Publicaciones Cultural, 2ª edición, 2002.

Mecanice para Ingenieros; Dinámica, R.C. Hibbeler, CECSA, 2ª  edición, 1987.

Mecánica Vectorial para Ingenieros; Dinámica, Ferdinand P.Beer, E. Russell Johnston,

            Jr., William E. Clausen, McGraw Hill, 7ª edición, 2004.

Ingeniería Mecánica; Dinámica, Robert W. Soutas-Little, Daniel J. Inman, Daniel S.  

             Balint, CENGAGE,  2009.

URL:http://books.google.com.mx/books?id=JGcui5Z4QT0C&pg=PT1&dq=Ing  enieria+mecanica++LITTLE&cd=1#

Movimientos Cinemáticos

•marzo 2, 2010 • Dejar un comentario

movimientos-cinemáticos

Ecuaciones de Bernoulli

•febrero 28, 2010 • Dejar un comentario

ECUACIONES DE BERNOULLI

 

Deniel Bernoulli

Daniel Bernoulli (1700-1782)

 Daniel Bernoulli  nació el 8 de febrero de 1700 en  Groningen, Holanda, hijo de Johann Bernoulli quien fue médico, matemático y filólogo suizo.

 

Johann Bernoulli(1667-1748)

 

1705 El profesor Johann Bernoulli padre de Daniel, obtiene una plaza en la Universidad

         de Basilea.      

         A los 16 años de edad Daniel era Magister en filosofía dominaba varias lenguas.

         Decide estudiar la carrera de  medicina. 

1721 Acaba sus estudios de médicina en La universidad de Basilea.

         Recibió influencias de filólogo Michelotti, y también por parte del Conde Jacopo

         Riccati quién se destacó por sus trabajos en la proyección de mejoras hidráulicas

         a  los canales.

         Publica el libro”Ejercitaciones Matemáticas” donde vienen algunos conocimientos

         que aprendió a lo largo de su instancia en Basilea y otra parte en Venecia.      

1723 Gana la competición anual que realiza la Academia de las Ciencias Francesas.

         El matemático Christian Golbach quién mantenía correspondencia sobre lecciones

         aprendidas con su padre queda  impresionado a por  el nivel de Daniel Bernoulli,

         así que decide publicar “Las cartas escritas por daniel”.

1724 Las cartas llegan a manos de Catalina I de Rusia quien le propone al mismo que

         sea profesor de la Academia de Ciencias de San Petersburgo.

1725 Por  mediación de su padre logra la extensión de la oferta a los hermanos

         Nicoluas Bernoulli y Daniel Bernoulli.

         Nicolaus trabajo sección Matemática como profesor de mecánica y Daniel en la

         sección de Física como profesor de física. 

1726 Muere Nicolaus en San Petersburgo a causa de una tuberculosis.

1730 El primer artículo científico que Daniel entregó a la Academia tenía el título

       “Nueva teoría del movimiento del agua que fluye a través de diferentes canales”.

1732 Vuelve Basilea donde se gano el puesto de profesor en los departamentos de

         botánica y anatomía.

1738 Publico su obra “Hidrodinámica” tiempo más tarde se le conocería como

       “Principio de Bernoulli”. Otras importantes contribución fue la “Teoria de

         Probabilidades”, entre otras más.

1750 La Universidad de Basilea le concedió la cátedra que había ocupado su padre.

         Publicó más de 86 trabajos y ganó 10 premios de la Academia de Ciencias de

         París.

         El 3 de mayo Daniel Bernoulli fue electo miembro por el Royal of Society.

         Ordena la construcción de una pensión para el refugio de los estudiantes temporales

         que no tenían recursos.

1782 El 17 de marzo Daniel Bernoulli muere de un paro cardiorespiratorio.

 

 

ECUACIÓN DE BERNOULLI O PRINCIPIO DE BERNOULLI

La ecuación de Bernoulli es una ecuación de primer orden que puede escribirse en la forma                                       

                                                     12dydx+Pxy=Qxyn’>

 

donde P(x)  y Q(x) son continuas en un intervalo abierto (a, b) y n es número real.

n = 0  ó 1 esta ecuación es lineal y se resuelve de la siguiente manera:

para valores n la sustitución

                                                              v = 12y1-n’>

transformando la ecuación de Bernoulli en una ecuación lineal, como se muestra ahora se mostrara

al dividir la ecuación originalmente 12yn’> se tiene

                      (1)                      12y-ndydx+Pxy-n=Q(x)’>

Al hacer v 12=y1-n’> y usar la regla de la cadena, se ve que

                                                     12dvdx=(1-n)y-ndydx’>

De modo que la ecuación (1) se convierte en

                                                    1211-ndvdx+Pxv=Q(x)’>

 

 Daniel Bernoulli al estudiar el comportamiento de los líquidos, descubrió que la presión de un líquido que fluye por una tubería es baja si su velocidad es alta y, por el contrario, es alta si su velocidad es baja.

 

La ecuación de Bernoulli toma en cuenta los cambios en la carga de elevación, carga de presión y carga de velocidad entre dos puntos en sistema de flujo de fluido se supone que hay pérdidas o adiciones de energía entre los dos puntos, por lo que la carga permanece constante.

 

 

 

 

 En un líquido ideal cuyo flujo es estacionario, la suma de las enegías ciética, potencial y de depresión que tiene el líquido en un punto, es igual a la suma de estas energias en otro punto cualquiera.

El líquido posee, tanto en el punto 1 como en el 2, tres tipos de energia:

a)Energía cinética, drbido a la velocidad y la masa del líquido:

                                                                Ec =  1212′> mv2

b) Energia potencial; debido a la altura del líquido; respecto a un punto de referencia:

                                                               Ep = mgh

c) Energá de Presión, originada pola presión que las moléculas del líquido ejercen entre sí, por lo cual, el trabajo realizado para el desplazamiento de las moléculas es igual a la energia de preión.

                                                               Epresión = P 12mp’>

donde:

          E presión = energía de presión en joules (J)

          

          P = presión en 12Nm2′>

 

          p = densidad del líquido en 12kgm3′>

 

 

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Ecuaciones de Bernoulli

•febrero 28, 2010 • 1 comentario

Ecuaciones de Bernoulli